压轴题“一题精讲”(一):相似三角形的存在性


发布日期:2022-08-16 07:34    点击次数:90


处理相似三角形存在性问题时,一般可遵循以下思路:第一步:确定对应关系对于需要讨论的两个三角形,常常可以从发现一组同角(等角)入手,继而进一步挖掘条件或分类讨论,确定对应关系.第二步:解得未知量①代数方法:通过对应关系列出比例式,用未知数和常数表示比例式中的每条边,通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等,则两个三角形相似”,围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如下图:在两个三角形中,有∠A=∠D,则∠A的夹边AB和AC,∠D的夹边DE和DF,姚明 点此进入则可列出以下两组比例式,即AB:AC=DE:DF或AB:AC=DF:DE.②几何方法:通过对应关系确定对应角,通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形,建立数量关系,从而得以求解。(以下习题及解法部分选自黄喆《图解中考数学压轴题》)

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(1)本题的第一问是证明AE和PE间的数量关系,由此可以联想到通过发现相似三角形,从而找到线段间的数量关系。可以发现图中有两组相似三角形,其中一组是“斜A型”相似三角形:△ADP和△ABC,其三边的比为1:2:√5;另一组是“共边共角型相似三角形”△PDE和△APE,其中两边的相似比为1:2.

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(2)本题的第二问是建立三△BEP的面积和线段AP间的函数关系.由于BP的长度可以用含x的代数式表示,因此过点E作BP的垂线EH,用含x的代数式表示EH的长度即可.对于EH的求法,可以借助构造的DP-EH-A型图进行求解,结合DE与AE的数量关系,可以求得DP和EH的比值,进而可以求出用用含x的代数式表示EH的长度.

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(3)本题的第三问是相似三角形存在性的讨论。①寻找等角:∵∠DPE=∠A,∠DPA=∠C=90°,∴∠ABC=∠BPE(等角的余角相等)方法1 代数方法:根据夹边列出比例关系 

列出比例关系:PB:PE=AB:BC或PB:PE=BC:AB,即用含x的代数式表示PE成为关键。

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方法2 几何方法:找出直角,利用另一组相等锐角,发现等腰三角形或相似三角形。

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