中考数学压轴题
发布日期：2022-08-16 09:32 点击次数：109
在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN//BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点Ａ重合）。如图１，DE与AC交于点P，求证：BD=DP；
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看到这种图形结构，最容易想到的就是直角三角形的直角顶点在一条直线上（跷跷板），学完全等三角形之后，这种跷跷板证全等的图应该不少见，那么这道题看图形很合适，那么是否可以用这个方法呢？
根据以往经验来看的话，要证明BD=DP，那么肯定要过B和P分别做MN的垂线，
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但是这样一来，构造的两个直角三角形中除了角相等，并没有边相等的条件，那么就无法证全等，所以该方法行不通。
那么问题来了， 崔岷植推荐网址可能很多同学就会在这一点上开始纠结，因为过往的经验会让我们认为就是这样的方法，只是条件没找出来，所以就会钻进死胡同，导致最后浪费了很多时间却没把题做出来。
既然这个方法行不通，那么就思考其他的途径吧。
首先AB=AC是肯定要用上的，线段相等，除了等腰和中点，在这里也就能放到全等中了，那么再观察要证的BD和DP，BD与AB刚好组成了一个三角形，那么AC好像没有能结合的且与BD相等的线段，而且DP和AC根本不成三角形，所以我们就要想办法去构造一个与BD相等，而且还能和AC组成三角形的线段出来。
那么想想怎么构造，题中出现了等腰直角，有等腰，有直角，很容易联想到旋转90°，如果将△ABD逆时针旋转90°，AB刚好落在AC上，那么BD不就可以转到AC的端点C处了吗？
所以，我们来构造一下，八年级没有学旋转，那么 可以过A向下作MN的垂线AF，且AF=AD，连接CF
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如图，则可证△ABD和△ACF全等
则有CF=BD，所以接下来只要证明CF=DP即可，
由全等除了得到线段线段，当然还有角相等，
即 ∠ABD=∠ACF
而∠ABD根据图形可知与∠APD相等
所以∠ACF=∠APD
则CF//DP
有平行，就可以构造相等的角，
连接PF和DF
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这样就将DP和CF放进了两个三角形中，那么有公共边PF，
且根据DP//CF有内错角相等
一边一角了，还差一组角
如果DF和PC平行就刚好再出现内错角相等，那么它们是否平行呢？
根据AD=AF和AD垂直AF可知∠ADF=45°
同时可知∠CAN也是45°
所以平行成立，那么就又有一组内错角相等
（学完平行四边形的话就可以直接利用平行四边形）
根据ASA可证△PFD和△FPC全等
则有CF=DP
所以BD=DP成立；
这是一道探究题，后面还有两问图形延伸，下次再分享了。