中考数学压轴题


发布日期:2022-08-16 09:32    点击次数:109


在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN//BC,以点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合)。如图1,DE与AC交于点P,求证:BD=DP;

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    看到这种图形结构,最容易想到的就是直角三角形的直角顶点在一条直线上(跷跷板),学完全等三角形之后,这种跷跷板证全等的图应该不少见,那么这道题看图形很合适,那么是否可以用这个方法呢?

    根据以往经验来看的话,要证明BD=DP,那么肯定要过B和P分别做MN的垂线,

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    但是这样一来,构造的两个直角三角形中除了角相等,并没有边相等的条件,那么就无法证全等,所以该方法行不通。

    那么问题来了, 崔岷植推荐网址可能很多同学就会在这一点上开始纠结,因为过往的经验会让我们认为就是这样的方法,只是条件没找出来,所以就会钻进死胡同,导致最后浪费了很多时间却没把题做出来。

    既然这个方法行不通,那么就思考其他的途径吧。

    首先AB=AC是肯定要用上的,线段相等,除了等腰和中点,在这里也就能放到全等中了,那么再观察要证的BD和DP,BD与AB刚好组成了一个三角形,那么AC好像没有能结合的且与BD相等的线段,而且DP和AC根本不成三角形,所以我们就要想办法去构造一个与BD相等,而且还能和AC组成三角形的线段出来。

    那么想想怎么构造,题中出现了等腰直角,有等腰,有直角,很容易联想到旋转90°,如果将△ABD逆时针旋转90°,AB刚好落在AC上,那么BD不就可以转到AC的端点C处了吗?

    所以,我们来构造一下,八年级没有学旋转,那么 可以过A向下作MN的垂线AF,且AF=AD,连接CF

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如图,则可证△ABD和△ACF全等

则有CF=BD,所以接下来只要证明CF=DP即可,

由全等除了得到线段线段,当然还有角相等,

即 ∠ABD=∠ACF

而∠ABD根据图形可知与∠APD相等

所以∠ACF=∠APD

则CF//DP

有平行,就可以构造相等的角,

连接PF和DF

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这样就将DP和CF放进了两个三角形中,那么有公共边PF,

且根据DP//CF有内错角相等

一边一角了,还差一组角

如果DF和PC平行就刚好再出现内错角相等,那么它们是否平行呢?

根据AD=AF和AD垂直AF可知∠ADF=45°

同时可知∠CAN也是45°

所以平行成立,那么就又有一组内错角相等

(学完平行四边形的话就可以直接利用平行四边形)

根据ASA可证△PFD和△FPC全等

则有CF=DP

所以BD=DP成立;

这是一道探究题,后面还有两问图形延伸,下次再分享了。