中考数学压轴题
在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN//BC,以点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合)。如图1,DE与AC交于点P,求证:BD=DP;
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看到这种图形结构,最容易想到的就是直角三角形的直角顶点在一条直线上(跷跷板),学完全等三角形之后,这种跷跷板证全等的图应该不少见,那么这道题看图形很合适,那么是否可以用这个方法呢?
根据以往经验来看的话,要证明BD=DP,那么肯定要过B和P分别做MN的垂线,
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但是这样一来,构造的两个直角三角形中除了角相等,并没有边相等的条件,那么就无法证全等,所以该方法行不通。
那么问题来了, 崔岷植推荐网址可能很多同学就会在这一点上开始纠结,因为过往的经验会让我们认为就是这样的方法,只是条件没找出来,所以就会钻进死胡同,导致最后浪费了很多时间却没把题做出来。
既然这个方法行不通,那么就思考其他的途径吧。
首先AB=AC是肯定要用上的,线段相等,除了等腰和中点,在这里也就能放到全等中了,那么再观察要证的BD和DP,BD与AB刚好组成了一个三角形,党建之窗那么AC好像没有能结合的且与BD相等的线段,而且DP和AC根本不成三角形,所以我们就要想办法去构造一个与BD相等,而且还能和AC组成三角形的线段出来。
那么想想怎么构造,题中出现了等腰直角,有等腰,有直角,很容易联想到旋转90°,如果将△ABD逆时针旋转90°,AB刚好落在AC上,那么BD不就可以转到AC的端点C处了吗?
所以,我们来构造一下,八年级没有学旋转,那么 可以过A向下作MN的垂线AF,且AF=AD,连接CF
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如图,则可证△ABD和△ACF全等
则有CF=BD,所以接下来只要证明CF=DP即可,
由全等除了得到线段线段,当然还有角相等,
即 ∠ABD=∠ACF
而∠ABD根据图形可知与∠APD相等
所以∠ACF=∠APD
则CF//DP
有平行,就可以构造相等的角,
连接PF和DF
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这样就将DP和CF放进了两个三角形中,那么有公共边PF,
且根据DP//CF有内错角相等
一边一角了,还差一组角
如果DF和PC平行就刚好再出现内错角相等,那么它们是否平行呢?
根据AD=AF和AD垂直AF可知∠ADF=45°
同时可知∠CAN也是45°
所以平行成立,那么就又有一组内错角相等
(学完平行四边形的话就可以直接利用平行四边形)
根据ASA可证△PFD和△FPC全等
则有CF=DP
所以BD=DP成立;
这是一道探究题,后面还有两问图形延伸,下次再分享了。