中考数学压轴题:二次函数


发布日期:2022-08-16 01:33    点击次数:195


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    每个地区的压轴题类型不一样,有的是几何探究,有的是二次函数,但不管是哪一种,都是锻炼大脑的难题,而且我们也无法确定下一次考试中这两种类型题哪个才是最难的,所以掌握的越全面越好。

    而且有的同学认为只做本省的中考题类型就行了,没有必要去刷其他省份的题目,其实这种想法有点片面。不接触各种类型的题目,就意想不到下次考试中会有什么样的难题等着你,每次的难题可能都会让你刮目相看,感觉又遇到了一种新类型,其实还是平时掌握不全面,如果全国各省的中考题,比如45套都挨个试一遍,相比之下,你见得多了,就不觉得总那么难了。

解析:

(1)点A的横坐标为8,那么根据解析式可知点A(8,16)

那么OA:y=2x

再根据AO⊥OB,而且B也在抛物线上

可知OB:y=-0.5x

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①那么点M是OA和直线y=m的交点

所以将y=m代入OA解析式可得

M横坐标为m/2

那么M(m/2,m)

②点P如果落在二次函数上,题上这个图示画不出的,所以我们来个草图看看效果即可

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图大致就这样吧,在这种情况下,根据矩形的性质可知OM=PN,OM//PN

所以我们只要根据这两个条件来展开即可,

M的坐标刚才已经得到,那么我们观察MN,MN是个平行x轴的横线,如果我们过M和P分别做y轴的平行线, 费耶诺德一个垂足在x轴,一个在MN上,结合OM=PN不是可以得到两个全等三角形吗,这样根据两个垂线段的长度即可表示P的纵坐标,如果在知道N的横坐标,还能表示出P的横坐标,

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过程就不再证明了,我们直接用结论,PE=MF=m,所以P的纵坐标为2m,

NE=OF=0.5m,我们还得知道N的坐标

N是OB与y=m的交点

所以可得N(-2m,m)

所以可得E的横坐标-1.5m,即P的横坐标-1.5m

那么P(-1.5m,2m)

如果P在抛物线上,则坐标符合抛物线解析式,代入可得

9m²/16=2m

m=32/9

(2)

这一小题没有给出A的坐标,那么根据题干只知道A在抛物线上,但是A是在y轴左边还是右边,并不知道,所以首先有左右两种可能,

我们还以刚才的图做参考,我们知道MF=PE=m=2

那么P的纵坐标为4,代入抛物线解析式可得P的横坐标±4,我们就先用刚才的图形,A在右边,之后求出OA后只需要对称一下即可,

刚才我们是知道了M的横坐标,但是现在不知道,所以我们假设OF=t

那么NE=OF=t

所以N的横坐标为-4-t,则N(-4-t,2)

这个时候我们只需要搞定t即可,

其实在图中已经出现了一个我们平时经常遇到的一种情况,∠MON与x轴形成跷跷板模型,所以在N处如果做x轴的垂线,则可得相似三角形一组

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如图,可得△ONG∽△MOF

则OF/NG=MF/OG

OF=t,MF=2,NG=2,OG=t+4

所以t(t+4)=4

t²+4t=4

(t+2)²=8

可得t=2√2-2(t>0,舍去负值)

那么M(2√2-2, 2)

所以OA:y=(√2+1)x

另一种情况刚好和此OA关于y轴对称

则另一个OA:y=-(√2+1)x

那么到这是不是就结束了?

估计有同学看到这句话就能猜到肯定还没结束,有一些我们忽略掉的信息,

我们得到的这两种OA的解析式,是根据上面的图形得到的,就拿刚才这个图来说吧,或者以y=(√2+1)x为例,它的k值大于1,明显M更靠近y轴,但是,M就一定比N更靠近y轴吗?

还以刚才这个图为例,

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如果我们将OA和OB以及M、N调换一下位置,是不是也成立?

也就是说OA可为OB,OB可为OA,题中只是给出了一个∠AOB=90°,我们得到的也只是我们根据图形认为的一种,所以另外两种即是直线OB和直线OA对换位置,

所以根据OA⊥OB

可得另外两种解析式y=(√2-1)x和y=-(√2-1)x

所以,最终的OA解析式一共4种;